Герой Советского Союза, стрелок 973-го стрелкового полка (270-я стрелковая дивизия, 6-я гвардейская армия, 1-й Прибалтийский фронт), младший сержант.
Родился 24 апреля 1925 года в селе Бахтемир Икрянинского района Астраханской области в семье крестьянина. Русский.
В 1930 году семья попала под раскулачивание и была выслана на спецпоселение в Тюменскую область. Жил в поселке Шуга Надымского района Ямало-Ненецкого округа, окончил 7 классов.
В год начала войны Анатолию было только 16 лет и на фронт его не взяли. В 1942 году окончил педагогическое училище в городе Салехард, работал учителем в семилетней школе поселка Катравож Приуральского района.
В июне 1942 г. Анатолий был призван в ряды Красной Армии, а с 8 июля 1942 г. его направили учиться на командира в военное училище в город Берск. После окончания военного училища был направлен в стрелковый батальон. Здесь его избрали комсоргом батальона. Весной 1943 года он попал в стрелковую дивизию, которая дислоцировалась близ города Невеля.
В Красной Армии с декабря 1943 года, с того же времени — на фронте. Младший сержант А.М. Зверев отличился в боях при освобождении Белоруссии. Перед взводом, в котором служил Зверев, была поставлена задача: разведать оборону противника. Почти двое суток действовали бойцы в тылу врага, нанося на карту артиллерийские батареи, доты и дзоты.
За удачную разведку Анатолий Зверев был награждён орденом Красной Звезды.
В июне 1944-го передовые подразделения 1-го Прибалтийского фронта под командованием генерала армии Баграмяна вышли к берегу Западной Двины.
26 июня 1944 года младший сержант Зверев в числе первых форсировал водную преграду в районе деревни Ерошево (Шумилинский район, Витебская область). Скрытно подобравшись к траншее врага, закидал её гранатами, уничтожив 10 немецких солдат, чем способствовал переправе штурмовых отрядов полка. В этом бою погиб.
Похоронен в поселке Улла Витебской области. На могиле установлен памятник.
На берегу Западной Двины в Витебской области, на месте подвига Анатолия Зверева стоит памятный обелиск.